Operasi Matrix

Aljabar Matrik Elementer

Definisi:

Matrik A berukuran mxn ialah suatu susunan angka dalam persegi empat ukuran mxn, sebagai berikut:

atau   A = (a_ij)

Untuk menyatakan elemen matrik A yang ke (i,j), yaitu a_ij, digunakan notasi (A)_ij . Ini berarti  a_ij = (A)_ij.

Bila m = n, matrik dinamai matrik bujur sangkar berukuran m.

Matrik berukuran mx1 disebut vektor kolom dan berukuran 1xn disebut vektor baris.

Contoh:   a = , suatu vektor kolom,  a_i menyatakan komponen a ke i.

                b =, suatu vektor baris,  b_i menyatakan komponen b ke i.

                (A)_i.  menyatakan vektor baris ke i matrik A.

                (A)_.j menyatakan vektor kolom ke j matrik A.

Latihan 1

Berdasarkan matrik A seperti yang tercantum pada definisi, sebutkan elemen-elemen matrik berikut:

(A)_i.  ,  (A)_1. ,  (A)₂  ,  (A)_m.  ,  (A)_.j   ,  (A)_{.1  ,}  (A)_.2  , (A)_.n  

Berbagai jenis matrik dan vektor :

Matrik Diagonal

Elemen diagonal matrik A ialah a₁₁, a₂₂, ... , a_mm , khusus untuk matrik bujur sangkar; dan vektor  a dengan m komponen adalah sebagai berikut :

a =     

Bila semua elemen selain a₁₁, a₂₂, ... , a_mm bernilai 0, A disebut matrik diagonal.

A = diag (a₁₁, a₂₂, ... , a_mm) menyatakan matrik diagonal dengan elemen diagonal a₁₁, a₂₂, ... , a_mm.

Bila a_ii = 1 untuk  i = 1, 2, ... , m, maka A disebut matrik identitas berukuran m, dinotasikan  I_m atau I.

D_A = diag (a₁₁, a₂₂, ... , a_mm)  dan  D_a = diag (a₁, a₂, ... , a_m)

D_A =           D_a = 

Bila A = diag (a₁, a₂, ... , a_m) dan b skalar, maka  A^b = diag .

Matrik Segitiga

Matrik segitiga ialah matrik dengan elemen di atas atau di bawah diagonal bernilai 0. Matrik segitiga terdiri dari dua macam, segitiga atas dan segitiga bawah. Segitiga atas bila yang bernilai 0 adalah elemen di bawah diagonal, dan segitiga bawah bila yang bernilai 0 di atas diagonal. Contoh matrik segitiga atas (misal dinamai P) dan segitiga bawah (misal dinamai Q) adalah sebagai berikut :

 

P =           Q = 

Bila  A = I_m , maka terdapat vektor  e₁, e₂, ... e_m, masing-masing menyatakan suatu vektor dengan komponen ke 1, 2, ... m bernilai 1 dan komponen yang lain bernilai 0, dinyatakan sebagai berikut :  

Vektor 0, Vektor 1 dan Matrik 0

0 menyatakan skalar bernilai 0.

0 menyatakan vektor dengan semua komponen bernilai 0.

(0) menyatakan matrik dengan semua elemen bernilai 0.

1 menyatakan vektor dengan semua komponen bernilai 1.

1_m  menyatakan vektor berukuran m komponen yang semuanya bernilai 1.

Latihan 2

Diketahui :   A = ,      a = ,      b = 6.

Tulislah elemen matrik berikut :  - D_A ,  D_a ,  A = diag (a₁₁, a₂₂, ... , a_mm),  dan  A^b

                                                     -  matrik segitiga atas dan segitiga bawah yang berkaitan dengan A

                                                     -  (A)_1. ,  (A)_2. , (A)_4. , (A)_.1 ,  (A)_.2  ,  (A)_.3